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一、环的定义

 一个集合 R 被称为一个环，如果它满足以下条件：

1. 对于 加法 满足：
   1. 闭合性：对于任意 $a,b\in R$，有 $a+b\in R$
   2. 交换律：$a+b=b+a$
   3. 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
   4. 零元（加法单位元）：存在 $0\in R$，使得 $0+a=a+0=a$，对于任意 $a\in R$
   5. 逆元：对于每个 $a\in R$，存在 $-a\in R$，存在 $a+(-a)=(-a)+a=0$
2. 对于 乘法 满足：
   1. 结合律：对于任何 $a,b,c\in R$，满足 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
   2. 乘法 不一定 需要满足 交换律（除非是 交换环），也 不一定 需要有 单位元（除非特别指定）
3. 对于 乘法对加法 满足：
   1. 分配律：对于任意 $a,b,c\in R$，满足：
      1. 左分配律：$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
      2. 右分配律：$(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$

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二、环的分类与变种

1、交换环

 如果 R 的乘法满足交换律，则 R 被称为交换环。

2、含单位元的环

 如果环 R 存在一个乘法单位元 $1\in R$，使得对于任意 $r\in R$，有 $1\cdot r=r\cdot 1=r$，则称 R 带有单位元。通常，单位元 $1\ne 0$，但在特殊情况下（如零环），$1=0$ 是可能的。
 一个环中一定有加法单位元。

3、零环

 如果 R 只有一个元素 {0}，且 $0+0=0+0=0$，则 R 是一个零环。

4、非交换环

 如果 R 的乘法不满足交换律（存在 $a,b\in R$，使得 $a\cdot b\ne b\cdot a$），则称为非交换环。例如，矩阵环（例如 2x2 实数矩阵环 $M_2(R)$）是非交换环。

5、整环

 整环是交换环的一个子类，满足：

• 带有单位元 $1\ne 0$
• 没有零因子（即如果 $a\cdot b=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$）

6、域

 域是整环的一个特殊情况，其中 每个非零元素都有乘法逆元。例如，实数域 R、有理数域 Q、复数域 C 都是域。

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三、环的性质与应用

1. 子环
    一个环 R 的子集 S 如果本身是环（使用 R 相同的加法和乘法），则 S 是 R 的子环。例如，偶数集合是 Z 的子环。
2. 理想 (idea)
    理想 环的一个子集，满足加法封闭性、乘法封闭性。理想是环的一个重要子结构，用于研究环的性质和分解。
3. 同态与同构
    环之间的结构保持关系可以通过环同态和环同构研究。例如，整数环 Z 和模 n 下的整数环 $Z_n$ 可以通过同态联系。

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四、环与群和域的对比

1. 环与群的关系：
    环 的 加法部分 是一个 交换群，但 环 还包括 乘法结构（可能非交换）。例如，$(Z,+)$ 是一个群，但 $(Z,+,\times )$ 是一个环。
2. 环与域的关系：
    域 是 特殊的环，不仅是 交换环 和 整环，还要求 每个非零元素 有 乘法逆元。例如，Q 是域，但 Z 不是域。